显示欧拉法和隐式欧拉法基本概念|梯形法|改进的欧拉法

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欧拉法（Euler's method）

欧拉法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显式算法（Explicit method）。

前向差分和后向差分

假设将一元函数函数y(t)离散化为一系列的点，y0,y1,...,yn,yn+1,yn+2,...y0,y1,...,yn,yn+1,yn+2,...，其中：

yn=f(tn)

tn=tn−1+h

h为步长

前向差分定义：△yn≡yn+1−yn；

前向差分等于下一时刻位置yn+1（时间向前前进一步）与当前时刻位置yn之差；

后向差分定义：△yn≡yn−yn-1；

后向差分等于当前时刻位置yn与上一时刻位置yn-1（时间向后后退一步）之差；

显式算法和隐式算法

在数值计算中，需要以差商（差分除以步长）代替导数。

如果使用前向差分，则为显式方法；如果使用后向差分，则为隐式方法。

显示欧拉法和隐式欧拉法

显式欧拉公式：yn+1=yn+hf(tn,yn)

之所以称之为显式，是因为下一时刻的值yn+1，可根据当前时刻的值yn及其导数y′n 显式地给出。

隐式欧拉公式：yn=yn−1+hf(tn,yn)

之所以称之为隐式，是因为上式是一个隐式方程。

显示欧拉法和隐式欧拉法稳定条件

显示欧拉法通常需要较小的步长才能保证稳定性和精度；

隐式欧拉法理论上无条件稳定；但实际应用中，隐式欧拉法需要求解隐式方程，通常也是使用迭代逼近的方法（例如，牛顿-拉弗森迭代法）求解，因此实际的隐式欧拉法并不是无条件稳定的。

隐式梯形法和改进欧拉法

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。

梯形法公式：yn+1=yn+h/2(f(tn,yn)+f(tn+1,yn+1))；梯形法也是隐式算法，需要迭代求解。

改进欧拉法是对欧拉算法的改进方法，先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yn+1再直接计算fn+1，得到校正值yn+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式。